Симметричность сложения и вычитания относительно точки ноль свидетельствует о том, что эти математические действия могут выполняться только с одной единицей измерения. Фактически, сложение и вычитание отражают сравнение трех чисел – двух имеющихся и результата. Для разных единиц измерения результат этих математических действий получить не возможно, поскольку числа имеют различные основания, и их сравнение не представляется возможным. Геометрическое отображение сложения и вычитания будет рассмотрено дополнительно.
Симметричность умножения и деления относительно точки «единица» позволяют представить деление как умножение на число, обратное любому числу:
Точно так же, умножение на число, обратное любому числу, можно представить как деление на любое число:
Традиционное определение простого дробного числа как результата деления двух целых чисел p и q равнозначно результату умножения целого числа p на число, обратное целому числу q:
В дальнейшем изложении термин «умножение» будет подразумевать умножение и деление в общепринятом смысле ввиду их полной симметрии и относительности этих понятий.
Умножение – это взаимодействие двух различных единиц измерения под прямым углом в точке «ноль». В результате взаимодействия образуется новая единица измерения с началом в точке «ноль», что приводит к качественному изменению взаимодействующих единиц измерения. Математическим действием, противоположным по смыслу умножению, является разложение на сомножители. Разложение выполняется при помощи тригонометрических функций, которые могут иметь числовые и не числовые (0 и 1/0) значения. Простейшее подобие разложения под углом в 45 градусов – это извлечение квадратного корня. Более подробно разложение и тригонометрические функции будут рассмотрены дополнительно.
Площадь (например, площадь прямоугольника) – это результат взаимодействия двух перпендикулярных единиц измерения длины. Умножение параллельных единиц измерения не возможно (при умножении длин двух параллельных сторон прямоугольника, измеренных в метрах, можно получить метры квадратные, но нельзя получить площадь). Математические свойства единиц измерения будут рассмотрены дополнительно.
Поскольку в математике принято выделять отдельные множества чисел, которые частично входят в понятие «любое число», при желании можно сформулировать математически точные определения для некоторых из них. Например:
единица и все числа, которые можно получить сложением единиц, называются натуральными;
все числа, которые можно получить сложением или вычитанием единиц, называются целыми числами (при вычитании такого же количества единиц, которое имеется, числа обращаются в нуль);
числа, не являющиеся целыми, называются дробными.
Пояснение для блондинок: Теперь настала очередь посмотреть, как в математике взаимодействуют числа и единицы измерения. Эту штучку я назвал величина.
