Через основание и высоту

Одна из двух «базовых», наиболее часто используемых формул. Именно через нее доказывается большинство прочих.

Чтобы узнать площадь, необходимо провести перпендикуляр из одной из вершин к противолежащей стороне. Длина этого перпендикуляра умножается на длину основания (стороны, к которой он проведен). Полученная цифра делится пополам.

Поскольку у фигуры три стороны, к каждой из них можно провести высоту, во всех трех случаях получаются разные цифры, однако площадь, что очевидно, получается одинаковой.

Доказать эту формулу несложно. Любой треугольник, используя одну из сторон как ось симметрии, можно «отзеркалить» и «удвоить», превратив в параллелограмм. А его, в свою очередь — в прямоугольник, проведя высоту, «отрезав» получившийся кусок, «приставив» его с другой стороны.

Площадь прямоугольника высчитывается путем умножения длин его сторон (они же длина стороны и высота изначальной фигуры). Из получившегося изображения очевидно, что любой треугольник вдвое меньше, чем прямоугольник, в который он «преобразован».

Соответственно, данное произведение нужно разделить на два (или умножить на ½), чтобы получить требуемое значение.

Важно! Два прямых следствия данной формулы: если у двух треугольников есть равные стороны, их площади соотносятся так же, как длины высот, которые к ним проведены. А при наличии равных высот у разных фигур, соотношение площадей такое же, как у длин сторон, к которым построены перпендикуляры.

Для примера:

Площадь треугольника с основанием а=7 см и проведенной к нему высотой h=5 см:

S= 1/2*7*5=17,5

Через катеты (для прямоугольного треугольника)

Частный случай первой формулы для прямоугольного треугольника. Из его названия очевидно, что две стороны пересекаются под прямым углом (их именуют катетами). Соответственно, каждая из них для другой одновременно является высотой.

Исходя из доказанной выше формулы, площадь в данном случае является произведением катетов, которое необходимо разделить на два. Разумеется, можно найти ее через третью сторону, построив высоту из прямого угла к третьей стороне (в прямоугольном треугольнике это гипотенуза), но через катеты получается проще.

Для примера:

Площадь треугольника с длиной первого катета а=3 см и второго катета b=4 см:

S=1/2*3*4=6 см²

Через две стороны и угол между ними

Вторая наиболее распространенная, часто применяемая формула. Тоже нередко используется в доказательствах.

Зная длины двух сторон и то, сколько градусов составляет угол между ними, необходимо вычислить синус этого угла, умножить его на длины обеих сторон, уменьшить полученное значение вдвое. Записываться то может как делением на два, так и умножением на ½.

Доказывается формула через построение высоты к одной из сторон, составляющих угол. Его площадь — полу-произведение данной высоты на основание. Одновременно после построения получается прямоугольный треугольник: его гипотенуза — вторая сторона, образующая угол, катеты — построенная высота и часть основания, к которому она проведена.

Синус угла, который нужно использовать в формуле, учитывая наличие прямоугольного треугольника, вычисляется как частное противолежащего ему катета и гипотенузы. Соответственно, этот катет (высоту изначальной фигуры) можно вычислить как произведение данного синуса на гипотенузу.

Если подставить получившееся произведение в первую формулу (полу-произведение высоты на основание), заменив высоту произведением синуса угла и второй стороны, его составляющей, получится как раз искомое равенство.

Для примера:

Площадь треугольника со сторонами а=7, b=4 см и углом между ними 30º:

sin30º=1/2

S=1/2*7*4*1/2=7

Через длины всех трех сторон

Широкое распространение и «официальное признание» формула получила после приведения ее доказательства в «Метрике» Герона Александрийского. Поэтому второе ее название — «формула Герона», хотя, по некоторым данным, она была известна еще Архимеду.

Выглядит она достаточно сложно, но ничего трудного в вычислениях нет. Сначала нужно сложить длины всех трех сторон, вычисляя периметр, разделить его пополам. Затем — последовательно вычесть из этой цифры длину каждой из сторон, перемножить все три значения на сам полупериметр. Чтобы получить площадь, необходимо из произведения всех четырех чисел извлечь квадратный корень.

Доказательств у данной формулы два — «аутентичное», где используется теорема Пифагора и более современное, предусматривающее применение тригонометрических функций. В первом случае нужно провести высоту к одной из сторон. Зная, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, можно путем несложных преобразований, выразить значения сторон двух получившихся прямоугольных треугольников через длины сторон данной изначально фигуры. Затем — просто подставить их в «основную» формулу (половина произведения основания на высоту).

Во втором случае для доказательства используется теорема косинусов в сочетании с одной из наиболее часто употребляемых тригонометрических формул, согласно которой сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна единице. С их помощью можно выразить синус угла треугольника через длины всех трех сторон, а затем, подставив значение во вторую часто используемую формулу (половина произведения сторон на синус угла между ними), преобразовать получившееся выражение в искомое.

Для примера:

Площадь треугольника со сторонами а=3, b=6 см, с=7 см:

р=(3+6+7)/2=16/2=8

S=√8(8-3)*(8-6)*(8-7)=√8*5*2*1=√16*5=4√5

Через радиус вписанной окружности

Вписанная в треугольник окружность имеет по одной «точке соприкосновения» с каждой из сторон. Чтобы определить площадь, необходимо ее радиус умножить на полупериметр данной фигуры. Вторая цифра — это сумма дли всех трех сторон, поделенная надвое.

Для доказательства формулы необходимо разделить данный треугольник на три «вспомогательных», использовав в качестве общей новой вершины центр вписанной в него окружности. Его нужно соединить с тремя вершинами данной фигуры.

Радиус вписанной окружности — это одновременно высота для каждого из новых треугольников. Если высчитать площадь всех трех через полу-произведение основания на высоту, сложить полученные выражения, вынести за скобки «повторяющийся элемент» (1/2 радиуса), в скобках останется как раз сумма длин сторон, то есть, его периметр.

Для примера:

Площадь треугольника со сторонами а=2, b=3 см, с=4 см и вписанной в него окружностью радиусом r=2 см:

р=(2+3+4)/2=9/2=4,5

S=4,5*2=9

Через радиус описанной окружности

Если знать длины всех трех сторон и радиуса описанной окружности (проходит через три вершины треугольника), можно высчитать его площадь, разделив перемноженные длины сторон на учетверенный радиус этой окружности (или удвоенный диаметр, хотя такая запись формулы почему-то не «прижилась»).

Доказательство основано на следствии из теоремы синусов, согласно которому, отношение каждой из сторон треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково, составляет два радиуса описанной вокруг этого же треугольника окружности.

Зная это, можно выразить из данного равенства синус угла: его значение — частное длины противолежащей стороны и удвоенного радиуса описанной окружности. Затем его нужно просто подставить во вторую из основных формул площади, которая высчитывается через длины двух сторон и синус угла между ними.

Для примера:

Площадь треугольника со сторонами а=3, b=4 см, с=5 см и описанной вокруг него окружностью радиусом R=10 см:

S=3*4*5/4*10=60/40=1,5

Через радиус описанной окружности (второй вариант)

Формула применяется, когда известны не длины сторон, а значения всех трех углов треугольника. Чтобы узнать, какова его площадь, нужно вычислить их синусы, перемножить между собой, получившуюся цифру умножить на квадрат радиуса описанной окружности, итоговое произведение еще удвоить.

В доказательстве используется то же следствие из теоремы синусов, что в первой разновидности формулы. Только сейчас нужно выразить из равенства не значение синуса угла через стороны и радиус, а наоборот — узнать длину каждой стороны. Она равна произведению удвоенного радиуса на синус угла, ей противолежащего.

Если подставить полученные значения в доказанную выше формулу, получится дробь, числителем которой является произведение всех трех синусов на удвоенный радиус, возведенный в куб (то есть, восьми радиусов в кубе), а знаменателем — учетверенный радиус. Путем простого сокращения получается как раз доказываемая формула.

Для примера:

Площадь треугольника со углами α=γ=30º, β=120º и описанной вокруг него окружностью радиусом R=5 см:

S=2*5²*1/2*1/2* /2=50/4* /2=6,25*

Через сторону и прилегающие к ней углы

Площадь треугольника — это частное произведения квадрата длины сторон, синусов двух прилегающих к ней углов и удвоенного синуса угла, ей противолежащего. Зная, что общая сумма углов — всегда 180º, третий вычислить несложно, просто вычтя из этого числа значения двух других.

Для доказательства используется уже не следствие из теоремы синусов, а она сама. Учитывая, что все три частных длин сторон и синусов противолежащих им углов равны, применив основное свойство пропорции, легко выразить две неизвестных стороны через третью и синусы. Это будет дробь, где в числителе — произведение известной длины стороны на синус угла, противолежащий искомой, а в знаменателе — синус угла, противолежащего известной стороне.

Выраженные таким образом обе длины необходимо подставить в формулу, вычисляя площадь через полу-произведение сторон на синус угла между ними. После сокращения выражения остается искомая формула.

 

Для примера:

Площадь равностороннего треугольника со углами α=β=γ=60º и длиной стороны а=10 см:

S=(10²* /2* /2)/(2* /2)=(25*3)/ =75/ =25 3

Через значения медиан

Употребляется нечасто, в записи немного напоминает формулу Герона. Только здесь для вычисления площади потребуется не полупериметр, а полу-сумма всех трех медиан (отрезок прямой, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне, делящий последнюю надвое).

Из полученной полу-суммы необходимо вычесть длину каждой из медиан, перемножить эти три цифры на саму полу-сумму. Затем извлечь из произведения квадратный корень, умножить его на 4/3.

Формула кажется «громоздкой», но доказать ее несложно, если знать, как выразить длину стороны треугольника через длины всех его медиан. Для этого нужно удвоить сумму квадратов длин медиан, проведенных к двум другим сторонам, вычесть из нее квадрат длины медианы, проведенной к искомой стороне, извлечь из получившейся цифры квадратный корень, умножить его на 2/3.

Подставив полученные значения длин сторон в формулу Герона, проведя некоторые преобразования получившегося выражения, можно прийти как раз к искомому результату.

Для примера:

Площадь треугольника с медианами m_a=9 см, m_b=12 см, m_c=15 см:

m=(9+12+15)/2=18

S=4/3* =4/3* =4/3* =4/3*54=72

Через боковую сторону и высоту (для равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны (соответственно, равны углы, которые они образуют с третьей — основанием). А высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой (делит его пополам) и биссектрисой (делит надвое угол, из вершины которого она выходит).

Чтобы вычислить площадь такой фигуры, необходимо извлечь квадратный корень из разности квадратов длин боковой стороны и высоты, проведенной к основанию, а затем полученную цифру умножить на высоту.

Высота делит равнобедренный треугольник на два равных по площади прямоугольных, а само основание — пополам. Соответственно, из теоремы Пифагора следует, что половина основания — это квадратный корень из разности квадратов длин гипотенузы (боковая сторона) и второго катета (высота). А удвоенный квадратный корень — это длина всего основания.

Подставив получившееся выражение в «стандартную» формулу площади (полу-произведение высоты на основание), сократив ½ с двойкой, несложно понять, что доказываемая формула действительно верна.

Для примера:

Площадь треугольника с боковой стороной a=15 см и проведенной к основанию высотой h=9 см:

S=9* ²-9²=9* =9* =9*12=108