Как решить систему уравнений

Ничего нового вы здесь не найдете. Я просто помещу сюда некоторые комментарии к странице о решении системы уравнений. Уж слишком много их там собралось, нужно половину удалить. Но решения систем уравнений жалко выбрасывать навсегда. На следующий год их снова будут задавать, только уже другим ученикам. И они снова будут задавать вопрос «Как решить систему уравнений?». И так, поехали.

Скажите пожалуйста, как решить систему такую систему уравнений

6х — 10у = 11
5у + 7х = 19

Лично я не воспринимаю уравнения, записанные сикось-накось. У меня сразу начинает мозги выворачивать. Я люблю, когда иксы под иксами, игреки под игреками. Мое мнение — математики нас должны учить делать правильно. Как делать не правильно мы и без их помощи сделаем.

По этому, переписываем второе уравнение по человечески — иксом вперед. Теперь умножим второе уравнение на два. В результате у нас получится такая система уравнений

6х — 10у = 11
5у + 7х = 19 (*2)

6х — 10у = 11
14х + 10у = 38

После этого складываем два уравнения и получаем одно уравнение с одним неизвестным

(14х + 6х) + (-10у + 10у) = 11 + 38
20х = 49
х = 2,45

Подставляем найденное значение икс в первое уравнение и находим игрек.

6*2,45 — 10у = 11
14,7 — 10у = 11
10у = 14,7 — 11
10у = 3,7
у = 0,37

Выполним проверку решения и убедимся, что система решена правильно

6*2,45 — 10*0,37 = 14,7 — 3,7 = 11
5*0,37 + 7*2,45 = 1,85 + 17,15 = 19

А как на счёт такой системы уравнений? Нам сказали решить методом сложения.

6x — y = 4
3x + 5y = 13

А легко! Умножаем второе уравнение на минус два и выполняем сложение двух уравнений. Вычесть положительное и прибавить отрицательное — суть одно и тоже действие, только мы его называем по-разному, почему-то.

6x — y = 4
3x + 5y = 13 (*(-2))

6x — y = 4
-6x — 10y = -26

Складываем с первым и получаем

(6х — 6х) +(-у — 10у) = 4 — 26
-11у = -22
11у = 22
у = 2

Из первого уравнения находим икс:

6x — 2 = 4
6х = 4 + 2
6х = 6
х = 1

Помогите, пожалуйста, решить систему:

у — х — 4 = 0
у + 2х — 1 = 0

Эти уравнения имеют несколько другой вид, чем предыдущие, но ничего. Принципы решения системы уравнений не зависят от внешнего вида составляющих её уравнений. Первое уравнение умножаем на минус единицу.

у — х — 4 = 0 (*(-1))
у + 2х — 1 = 0

-у + х + 4 = 0
у + 2х — 1 = 0

Складываем оба уравнения в кучку

(у — у)+(2х + х)+(4 — 1)= 0
0 + 3х + 3 = 0
3х = -3
х = -1

Из первого уравнения находим игрек

-у + х + 4 = 0
у = х + 4
у = -1 + 4
у = 3

Проверяем решение системы уравнений

3 — (-1) — 4 = 3 + 1 — 4 = 0
3 + 2*(-1) — 1 = 3 -2 — 1 = 0

Решение правильное.

Как понять, на какое число надо умножать уравнение?

Нужно смотреть на числа возле иксов и на числа возле игреков. Нам нужно получить ноль в результате сложения одной из пар этих чисел. Ноль при сложении получается, если числа равны, но имеют противоположные знаки. Одну задачку решаете для чисел возле иксов, вторую — для чисел возле игреков. Какое решение проще (целое число), то и выбирайте. Обычно всё это прокручивается в голове. В принципе, любую пару уравнений из системы можно привести к виду, удобному для применения метода сложения уравнений. На другой странице я более подробно написал о том, как определять числа, на которые нужно умножать уравнения.