Сейчас мы проверим теорему косинусов для периметра на примере прямоугольного треугольника. У прямоугольного треугольника один угол равен 90 градусов, косинус этого угла равен нулю. Косинусы остальных углов получаются делением длины гипотенузы на длину прилежащего катета. В общем виде проверка теоремы косинусов выглядит так.
 |
| Прямоугольный треугольник |
Смотрите, как всё чудненько получается — периметр треугольника действительно равен сумме трех его сторон. Но это буковки, а как с числами? Давайте подставим в формулу длины сторон прямоугольного треугольника и значения косинусов углов. Для примера возьмем пифагорову тройку чисел для значения длин сторон. Косинус угла определяем как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
 |
| Прямоугольный треугольник |
Полученные значения равны периметру треугольника. Теорема косинусов позволяет проверить треугольник на разрыв. Вот что получится, если одна из сторон не доходит до вершины треугольника.
 |
| Разорванный треугольник |
Равенство выполняется, но результат не равен сумме длин отрезков ломаной линии или периметру воображаемого треугольника. А что будет, если мы неправильно запишем данные? Ну перепутали чуть-чуть, с кем не бывает. Поменяем местами значения косинусов углов, а длины катетов прямоугольного треугольника запишем правильно. Любуемся результатом.
 |
| Неверные измерения |
А полученный результат не совпадает со значением периметра. Где это можно использовать? В геодезии, например. Если измерить три расстояния между точками на местности и три угла, то по теореме косинусов для периметра можно проверить правильность этих измерений. Но мы со своей математикой немного опоздали. Сделаем маленькое лирическое отступление и вспомним историю.
Лет сто назад война обычно начиналась из геодезических измерений будущего театра военных действий. Математика позволяла определить траекторию полета снаряда, но, без знания точного рельефа местности, трудно определить, куда именно снаряд попадет. Вот рельефом местности геодезисты и занимались. С математикой они особо не заморачивались. Если в измерениях появлялась незначительная ошибка, то ошибку делили на три части и равномерно распределяли по трем измеренным углам или по трем сторонам. Таким образом фактические измерения подгонялись под математику. Для эффективного убийства себе подобных этого вполне хватало. Сегодня геодезисты уже не бегают с инструментами перед началом войны. Достаточно достать из архива старые карты прошлых войн и раздать их своим солдатам-отпускникам, чтоб они хорошо знали, где именно им нужно заблудиться.
На этом покончим с прямоугольным треугольником и перейдем к его равностороннему собрату.
