Сегодня мы будем решать систему двух уравнений с двумя неизвестными. Выглядит эта система вот так:
x — y = -2
xy — y = 10
Благодаря усилиям многих поколений математиков это увлекательное занятие превратилось в очень нудную процедуру. С таким же успехом и теми же методами церковно-приходские дьячки вдалбливали «Слово Божье». Меня же здесь заинтересовал один момент — насколько правильная та математика, которую нам проповедуют в школе? Ответ я ещё не знаю и пишу эту статью в режиме реального времени. В настоящей математике результат не может зависеть от способа решения. Посмотрим, что получится у нас.
И так, решение системы уравнений мы будем производить способом подстановки. Самый популярный способ в истории человечества. Когда правители направляют свои войска на врагов — это и есть способ подстановки. Сами правители под стрелы и пули не лезут,они подставляют других. Поиск козла отпущения — это ещё одна разновидность способа подстановки, когда ищут того, кто ответит за чужие грехи. Но вернемся к решению нашей системы уравнений.
Говорят, что все изобретения сделаны лентяями ради облегчения собственной жизни. Способы решения, которым нас учат математики — из той же оперы. Давайте проанализируем наши уравнения и попытаемся сделать некоторые выводы. В первом уравнении у нас есть икс без всяких прибамбасов и игрек с прибамбасом в виде знака минус перед ним. Во втором уравнении икс умножается на игрек и присутствует игрек со знаком минус.
Для решения системы уравнений методом подстановки нужно одну неизвестную выразить через другую. Что через что выражать? Для получения результата это не имеет никакого значения. А вот для количества потраченных усилий в ходе решения разница есть. Произведение икса на игрек во втором уравнении сразу должно вас насторожить. Почему? Здесь неизбежно возникнут дроби. А возиться с дробями — удовольствие ниже среднего. Вот смотрите чему будет равен икс:
xy — y = 10
ху = 10 + у
х = (10 + у)/у
Теперь посмотрим, чему получится равным игрек:
xy — y = 10
у(х — 1) = 10
у = 10/(х — 1)
Такое только в страшном сне может присниться. А ведь эти дроби ещё нужно вставить в первое уравнение и найти значение неизвестной. Мрак.
Смотрим на первое уравнение. Здесь картина гораздо приятнее. Смотрим, как будет выглядеть икс:
x — y = -2
х = у — 2
Даже у игрека прибамбас в виде знака минус исчезает при телепортации его в другую часть уравнения, за знак равенства. Теперь найдем игрек:
x — y = -2
-у = -х — 2
у = х + 2
Полученные из первого уравнения выражения для икса и игрека выглядят очень гламурненько и не идут ни в какое сравнение с дробями, полученными из второго уравнения. Мудрый вывод может быть только один — нужно из первого уравнения найти выражение для любой неизвестной и подставить его во второе уравнение.
Какое неизвестное лучше подставлять во второе уравнение? Здесь нужно пользоваться правилом лентяя — чем меньше раз будем подставлять, тем лучше. Во втором уравнении икс представлен в единственном экземпляре и подставлять придется только один раз. А вот игреков у нас аж два. Следовательно, подставлять придется тоже аж два раза.
Вот мы и получили принцип решения заданной нам системы уравнений методом подстановки: из первого уравнения находим икс и подставляем значение икса во второе уравнение. Смотрим, что у нас получилось:
xy — y = 10
(у — 2)*у — у = 10
у² — 2у — у = 10
у² — 3у = 10
у² — 3у — 10 = 0
Как видите, у нас получилось квадратное уравнение. С детства не люблю квадратные уравнения, а слово «дискриминант» на меня вселенскую тоску находит. К счастью, времена церковно-приходских решений миновали и у нас появилась замечательная возможность воспользоваться специальной программой для решения квадратных уравнений. Вводим в ячейки значения наших коэффициентов 1; -3; -10 и получаем два значения игрека:
у = 5
у = -2
Подставляем эти значения в первое уравнение и получаем значения иксов:
х = у — 2 = 5 — 2 = 3
х = у — 2 = -2 — 2 = -4
В результате решения системы уравнений с двумя неизвестными ми получили две пары значений икса и игрека:
х = 3; у = 5
х = -4; у = -2
Прежде, чем делать глубоко научные выводы, нужно выполнить проверку. Подставляем каждую неразлучную пару в наши уравнения и смотрим результат. Первая пара пошла на проверку:
х — у = 3 — 5 = -2
ху — у = 3*5 — 5 = 15 — 5 = 10
За ней отправляем другую пару:
х — у = -4 -(2) = -4 + 2 = -2
ху — у = (-4)*(-2) -(-2) = 8 + 2 = 10
Всё чудненько сходится, значит систему уравнений мы решили правильно. Вот теперь и наступил момент познания истины — сейчас мы изменим ход решения системы уравнений. Из первого уравнения найдем игрек и подставим значение игрека во второе уравнение. Вот как это выглядит:
у = х + 2
ху — у = 10
х(х + 2) — (х + 2) = 10
х² + 2х — х — 2 = 10
х² + х — 12 = 0
У нас получилось квадратное уравнение с другими коэффициентами: 1; 1; -12. Вставляем их в дырочки и получаем два значения иксов:
х = 3
х = -4
Теперь находим два значения игреков:
у = х + 2 = 3 + 2 = 5
у = х + 2 = -4 + 2 = -2
Как видим, другой ход решения дает точно такой же результат. Вывод может быть только один — математики научились правильно решать системы уравнений. Чему и нас учат. А вот зачем нам это нужно — это уже совсем другой вопрос. Ответ «Все так учились» в современном мире уже не катит, нужны аргументы боле весомые. Разумные существа всегда понимают, что именно и для чего они делают. Дрессированные животные просто повторяют то, чему их научили.
