За что я люблю математику? За её симметрию и могущество. К чему это я? У меня невольно возник вопрос: математика и совершенство — как это выглядит? Вот в комментариях к странице об объеме прямоугольного параллелепипеда попросили решить такую задачу: диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 7, 8 и 9 сантиметров. Нужно найти объем и полную поверхность той штучки. Задачу эту я не решил — мне не интересно.
Для решения я предложил составить систему трех уравнений с тремя неизвестными и найти длины ребер. По-началу меня увлекло и я написал решение системы. Но в значениях длин диагоналей появились числа под знаком квадратного корня. А мне это не понравилось. Я даже начал ругаться, что составили задачи являются олухами,которые даже красивую задачу составить не умеют. Вот если бы они задали длины диагоналей граней равными корням квадратным из 52, 65 и 85 сантиметров, тогда мне решать эту задачу было бы гораздо приятнее. Я бы получил ребра длиной в 4, 6 и 7 сантиметров, то есть целые числа.
Но потом до меня начало доходить. А при чем здесь математики? За что их ругать? Если мы задаем диагонали граней красивыми целыми числами, тогда длина ребер получается не красив — числа под знаком квадратного корня. Если мы длину ребер прямоугольного параллелепипеда зададим целыми числами, то диагонали граней будут представлять из себя числа под знаком радикала (насколько я помню, знак радикала и квадратный корень — это одно и то же произведение дизайнерского искусства). Получается математическая симметрия — целыми числами можно выразить либо то, либо другое. И все математики мира здесь бессильны. Как бы сильно мы не хотели втюхать свои собственные представления о красоте, у математики свои законы.
Естественно, у меня не мог не возникнуть вопрос: существует ли такой прямоугольный параллелепипед, у которого длины всех ребер и всех диагоналей выражаются целыми числами? Я думаю, что такого совершенства не существует.
Я не Альфред Нобель и учреждать премию своего имени за решение этой задачи не собираюсь. Я не Пьер Ферма и доказательство отсутствия таких целых чисел меня не интересует. Я просто любопытная обезьяна, которой будет интересно посмотреть на набор из семи целых чисел: три длины ребер, три длины диагоналей граней и одна длина диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для решения задачи можно применять любые системы счисления: двоичную, троичную, десятеричную… Я не жадный:)))
Мне кажется, что уже сам по себе прямоугольный параллелепипед является совершенством с точки зрения математики. Тогда куб — это идеальное совершенство.
Для куба решение сводится к поиску всего трех чисел, а не семи, как у прямоугольного параллелепипеда. Если длина ребра куба равна единице, тогда диагональ грани равняется корню квадратному из 2, длина диагонали куба — корню квадратному из 3. Для ребра длиной 2 получаем 2 корня из двух и 2 корня из трех. Для ребра размером с тройку имеем 3 корня из двух и 3 корня из трех.
Как видите, квадрат (в кубе любая грань является квадратом) и куб жестко увязаны тем, что математики называют иррациональностью. С прямоугольником другая история. Существуют такие наборы целых чисел, которые могут являться значениями длин двух сторон и диагонали прямоугольника. Они называются «пифагорова тройка». Числа 3, 4, 5 составляют пифагорову тройку. А как насчет «пифагоровой семерки»? Ведь прямоугольный параллелепипед — это владения теоремы Пифагора.
И последний, чисто математический, вопрос: можно ли создать такую систему счисления, в которой «пифагорова семерка» будет представлять из себя целые числа?
Специально для математиков поясню, что под применяемым мною термином «целые числа» следует понимать ортодоксальные натуральные числа. Ведь отрицательной длины не бывает.
