Преобразование тригонометрических функций — правило прямого угла не ищите в учебниках. Такого математического правила нет ни в одном учебнике математики. Это придумал я в результате нудного ковыряния в формулах приведения тригонометрических функций. Оказывается, если отбросить знаки тригонометрических функций, всё становится простым и понятным. На уроках математики всего того, что вы прочтете ниже, я не советую рассказывать — преподаватели математики могут обидеться, что вы знаете больше них. А вот для проверки правильности своих решений правило прямого угла вам очень даже пригодится.
Первым делом разделим все тригонометрические функции на три пары перпендикулярно симметричных функций: синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс. Понятие перпендикулярной симметрии тригонометрических функций в математике отсутствует, хотя именно на её свойствах основано действие правила прямого угла и формул приведения тригонометрических функций. О перпендикулярной симметрии мы поговорим в другой раз. А пока принимайте на веру мои слова, ведь вся математика построена исключительно на вере в правильность принятых определений)))
Вот теперь можно сформулировать правило прямого угла:
если к величине угла альфа любой тригонометрической функции прибавить прямой угол, название тригонометрической функции изменится на перпендикулярно симметричное при условии сохранения угла альфа в качестве аргумента тригонометрический функции. Изменение знаков полученных тригонометрических функций необходимо рассматривать дополнительно.
Получилось очень заумно и не понятно (на всякий случай писал специально для математиков). Не надо пугаться, учить дословно этот бред не нужно, главное — понять принцип действия. Давайте посмотрим, как это правило выглядит на картинке.
На рисунке вы видите три совершенно одинаковых крестика со стрелочками. Стрелочки указывают на названия тригонометрических функций. Сгруппированы тригонометрические функции по признаку перпендикулярной симметрии.
Как это работает? Выбираете нужную вам тригонометрическую функцию и движетесь по часовой или против часовой стрелки вокруг центра крестика на нужное вам количество прямых углов. В конце движения стрелочка показывает, какое название тригонометрической функции получится в результате. При каждом добавлении или вычитании прямого угла название тригонометрической функции меняется. Формулы приведения дают нам конечный результат, правило прямого угла позволяет проследить процесс получения этого результата. Например:
Вертикальные черточки означают модуль тригонометрический функции, то есть без учета изменений знаков. Данный принцип действует как для сложения, так и для вычитания прямых углов. Каждый раз, прибавляя или отнимая прямой угол, нужно менять название функции.
Как видно из приведенных выше рисунков, результат преобразования не зависит от того, в каком месте вы возьмете тригонометрическую функцию (слева или справа, сверху или снизу) и в каком направлении вы будете отсчитывать прямые углы (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Вот это и есть настоящая математика — результат не зависит от порядка выполняемых нами действий.
Общий принцип следующий: если количество прибавляемых или вычитаемых прямых углов нечетно — название тригонометрической функции меняется, если количество прямых углов четно (то есть делится на два) — название функции не меняется.
Принцип изменения названия тригонометрических функций очень похож на правило умножения положительных и отрицательных чисел. Помните? Минус на минус дает плюс, плюс на минус дает минус. Только у нас один прямой угол меняет название функции, два прямых угла не меняют название. Как этим пользоваться на практике, рассмотрим на примерах в следующий раз.
Как определять знаки полученных тригонометрических функций? Включайте свою сообразительность, берите тригонометрический круг — и вперед. Я подумаю, можно ли здесь ввести какой-то общий принцип, но результата не гарантирую. Секрет знаков тригонометрических функций заключается в том, что настоящие тригонометрические функции знаков не имеют — их придумали математики. Мы с вами тоже можем ввести в математику цвет, вкус, запах, политическую или религиозную принадлежность тригонометрических функций. Что скажет по этому поводу математика? Вы сами это придумали, сами с этим и разбирайтесь — чем бы дитя не тешилось, лишь бы не плакало.
Если у вас есть вопросы по применению правила прямого угла, пишите в комментариях.
Вы ищете:
Не понимаю формулы приведения — прочтите эту страничку, возможно что-то прояснится.
Больше о новых взглядах на математику и её проблемах смотрите на странице «Новая математика«
бред, хотя и научный 🙂
в школе дается два правила и все…
Благодарю за столь высокую оценку моего скромного труда. Но это всего лишь баловство на тему преобразования тригонометрических функций, так сказать, замечание мимоходом. Настоящий научный бред получается тогда, когда берешь математический справочник, выбрасываешь из него весь маразм — в сухом остатке получается чистейшая математика. Выглядит действительно как бред, но зато какой красивый!!! :)))
А скажите пожалуйста как удобно вычислить тангенс и котангенс…. только методом подбора ??)))Есть ли таблица со значениями?:)Заранее спасибо )
Я такого метода не знаю. Хотя, он вполне может быть. Лично меня интересует смысл тригонометрических функций, а не циферки, которым они равны. Таблицу тангенсов и таблицу котангенсов от 1 до 360 градусов я опубликовал, по ссылочкам вы их найдете.
А по-моему вы гений! За 11 лет проведенных в гуманитарном классе, перед сдачей ЕГЭ я стала пониматьтригонометрию).
Спасибо!
Блондинка Саша.
Спасибо за столь высокую оценку моего скромного труда)))
заумно объяснять умеет всякий, а понятно — только талант!
Интересно, это комплимент или угроза?
Спасибо вам за объяснение, а то в этой мути путаюсь, а учитель не может всему классу прояснить.
а скажите,как как найти синус 42 градусов?
Можно воспользоваться таблицей Брадиса для синусов и косинусов. Смотреть нужно в первом столбце, значение равно 0,6691
Да… "Открытие"… А тут почитать:
//ru.wikipedia.org/wiki/Единичная_окружность
Любой учебник состоит из подобных "открытий". Так что, запретим публикацию новых учебников и будем пользоваться церковно-приходскими??? Очень "мудрое" решение.
Кстати, подобный опыт у нас уже имеется. Тора, Библия, Коран… Далеко мы ушли на подобных "учебниках"???
Спасибо, Николай. Мне всегда были более понятны сухие формулы, но спустя окончания школы прошло 5 лет, и ваша инфографика наилучшим образом освежает память.
Приятно, что кому-то это помогает.
А что такое преобразовательная функция математики ??????????
Понятия не имею. Под любой набор слов можно подсунуть какой угодно смысл, по этому делать логические заключения глупо. Ответ может зависеть и от того, кто и в каком именно месте задает этот вопрос — математик, философ, проповедник…
Замечательные объяснения!Спасибо вам за ваш труд.