Простое построение углов

Тут мне в комментариях задали интересный вопрос. Простое построение углов — как это сделать? Вот сам вопрос.

Простое построение углов. Вопрос о построении угла в 45 градусов в декартовой системе координат.. Математика для блондинок.
Вопрос о построении углов

И так, вопрос сводится к следующему — в декартовой системе координат, если брать одинаковый икс и игрек, получим прямую под углом в 45 градусов к осям координат. А как построить углы другой величины? Можно, конечно, заняться гаданием на кофейной гуще и попробовать высчитать, сколько нужно откладывать по иксам, сколько по игрекам, чтобы получился другой удобочитаемый угол. Не 156пи/911, а что-то типа 1, 5, 10, 15 градусов.

Угол в тридцать градусов получается, когда по оси игрек мы возьмем половинку, а расстояние от центра системы координат до точки будет равно единице. При помощи циркуля и линейки такое построить можно, но…

Построение угла в 30 градусов в декартовой системе координат. Математика для блондинок.
Построение угла в 30 градусов

Для подобного построения необходимо: построить декартову систему координат, нарисовать круг, по оси игрек разделить радиус пополам, через полученную точку провести линию, параллельную заданной… Фокус в том, что о декартовой системе координат древние люди не имели ни малейшего понятия. И ведь тысячелетиями как-то жили, и углы строили.

И так, четвертое-пятое тысячелетие до нашей эры, древняя Месопотамия… Тогда зародилось то, чем мы пользуемся и сегодня. Астрономия, письменность, математика, углы… Какими инструментами тогда пользовались для построения углов? Линейка, циркуль…Возможно, были тогда и угольники, хотя это не принципиально — для построения прямого угла достаточно циркуля и линейки.

Теперь попробуем строить углы при помощи циркуля и линейки без всяких координатных систем. Проводим прямую линию, строим окружность с центром на построенной линии. Ставим циркуль в точки пересечения линии и окружности и строим две окружности того же радиуса. Соединяем линиями центр первой окружности точки пересечения окружностей. У нас получились углы в 60 градусов.

Простое построение углов. Построение угла в 60 градусов при помощи циркуля и линейки. Математика для блондинок.
Построение угла в 60 градусов

Почему возле углов я поставил циферки 1, 2, 3, 4, 5, 6? Я считаю, что именно такую единицу измерения углов использовали наши предки. Назовем эту единицу измерения углов «вавилонский угол». Дальше один угол делится на 60 градусов. Почему именно на 60? В те времена, в тех местах, использовалась шестидесятеричная система счисления. Вы такой системой счисления никогда не пользовались и понятия о ней не имеете? Ошибаетесь. Когда вы выражаете время в минутах и секундах, вы используете именно шестидесятеричное счисление. «Подожди пять минут» в переводе на десятичные дроби, если за единицу брать один час, будет звучать как «Подожди 0,083333333… часа». Дико звучит, не правда ли?

Давайте посмотрим на структуру вавилонских шестидесятеричных чисел. Единицу целого числа вавилоняне делили на шестьдесят частей. Потом каждую эту часть делили ещё на шестьдесят частей и так дальше. У шестидесятых долей были свои названия: минута, секунда, терция…

Минута, секунда, терция, кварта, квинта. Структура шестидесятеричного числа. Математика для блондинок.
Минута, секунда, терция, кварта, квинта

Вот теперь я включаю логику и начинаю рассуждать. Если минута — это малая часть, значит могла быть и большая часть или просто часть. Градус как нельзя лучше подходит на роль части вавилонского угла. Тогда первый шестидесятеричный знак после запятой будет называться градус и только второй — минута. Хотя, я могу и ошибаться. Вполне возможно, что градус играет роль целого числа, а придуманный мною «вавилонский угол» — ни что иное, как аналог наших десятков. Но суть не в этом.

Я просто хотел обратить ваше внимание на то, что 360 градусов окружности приблизительно равны 365 дням в году (если отбросить градусы и дни, а тупо сравнивать только числа, как это любят делать наши математики). Почему я сравниваю окружность с днями в году? За сутки Солнце смещается по эклиптике приблизительно на один градус. С другой стороны, вавилонский угол в 60 градусов приблизительно равен одному радиану. Ведь 1 радиан ≈ 57,295779513° ≈ 57° 17′ 44,806″ При этом, у вавилонского угла есть точное числовое значение, а вот радиан точного числового значения не имеет — он построен на бесконечности числа «пи». Один — ноль в пользу древних математиков. Что бы там не утверждали наши математики, но принимать в качестве единицы измерения бесконечное число — это не совсем разумно. Думаю, физики меня поймут — создать точный измерительный прибор для измерения неточной величины даже теоретически невозможно.

Но продолжим наши построения углов. Через центр первой окружности проводим перпендикуляр, затем строим ещё две окружности с центрами в точках пересечения перпендикуляра и первой окружности.

Простое построение углов. Построение угла в 30 градусов. Математика для блондинок.
Построение угла в 30 градусов

Получился угол в 30 градусов. Как видите, построение очень простое, даже циркуль с переменным радиусом не нужен. Достаточно отрезать кусок разветвления ветки вместо циркуля и всё прекрасно получится. В этой первозданной простоте родились наши современные часы.

Простое построение углов. Вавилонские углы и циферблат часов. Математика для блондинок.
Вавилонские углы и циферблат часов

Как видно из рисунка, один час времени равняется тридцати градусам угла. Одна минута времени равна шести градусам угла. В минуте шесть градусов, в окружности шесть углов — что-то в этом есть. Вот только часов на окружности циферблата 12, что не очень вписывается в логику шестидесятеричной системы счисления. У наших математиков везде тупо было бы шестьдесят. В году двенадцать знаков зодиака, в сутках 24 часа. Где-то должна быть очень веская логика именно такого построения временной шкалы. Я не занимался изучением этого вопроса, древние вавилоняне меня и без него шокировали. Но об этом в следующей статье.

Особо стоит отметить, что в древности использовались солнечные часы. Было два варианта солнечных часов — напольные и настенные. Так вот, стрелки этих двух типов часов (тень на циферблате) двигались в противоположных направлениях — по часовой стрелке у напольных и против часовой стрелки у настенных. Можно предположить, что такого понятия, как «вращение по часовой стрелке» у древних математиков не существовало. А в том, что древние люди были очень умными, мы можем убедиться, рассмотрев загадку вавилонской таблички.

Оцените статью
Добавить комментарий

  1. Анонимный

    К забавно/интересно/круто я бы добавил опцию "безграмотно".

    Ответить
  2. Николай Хижняк

    Если бы право писать предоставлялось исключительно грамотным, Вам бы читать было нечего. И слушать тоже.

    Ответить
  3. Анонимный

    спасибо! помогло

    Ответить
  4. Анонимный

    Сложив лист бумаги вдвое мы получаем 180 град., еще раз вдвое — получаем 90 град. (прямой угол). Если сложим еще раз — получим 45 град. Чтобы получить 30 град, любым предметом фиксированного размера (да хоть стороной спичечного коробка) на одном катете прямого угла отмечаем 3, на другом — 5 (единиц, или делений — как пожелаете). Соединив ух, получим треугольник с углами 30 и 60 град. соответственно. Совместив угол 30 град с углом 45 град, в остатке имеем 15 град. Способ примитивный, но все строители им пользуются — видимо, со времен строительства вавилонской башни или ебипетских пирамид. Проще способа не знаю — разве что угломер, теодолит или транспортир, но они не всегда оказываются под рукой.

    Ответить
  5. Николай Хижняк

    Спасибо за комментарий.

    Согласен, это простые способы построения углов. Только в древних Вавилоне и Египте офисных листов бумаги не было. 180 градусов — это обычная линейка или ровная палка. Дальше можно использовать любую единицу измерения длины. 3, 4, 5 — это треугольник с прямым углом. Одинаковые катеты — это угол 45 градусов. Одинаковые гипотенуза и катет — это 30 градусов. Или, как говорите Вы, катеты 3 и 5.

    Ответить
  6. Анонимный

    Ха- ха! Благодарю Вас (искренне!), Вы подняли мне настроение и в некоторрой степени повысили мою самооценку. Дело в том, что в родной советской школе я числился непроходимым тупицей в плане точных наук — "трояк" по той же геометрии преподаватель "натягивал" мне с большим трудом и неизмеримо большими душевными терзаниями :). Но на строительной площадке достаточно и того, что я сумел усвоить. Во всех остальных случаях беру прибор, или вызываю геодезиста — ответственность, понимаете…

    Ответить
  7. Анонимный

    Кстати, насчет офисной бумаги. Она легко заменяется куском пергамента, папируса или плотной ткани — принцип-то остается прежним (доводилось пользоваться куском крафт-бумаги, вырванной из мешка с цементом). К тому же, я не думаю, что дедушка Пифагор имел доступ к финскому офисному "щастью".

    Ответить
  8. Николай Хижняк

    С годами мы умнеем, но не все :))) Я сам строитель и знаю, что такое геодезия на стройплощадке 🙂 У меня по математике были четверки-пятерки, но тригонометрии я не знал вообще. Простое любопытство заставило разобраться на старости лет 🙂

    Ответить
  9. Николай Хижняк

    Да согласен. А ещё до сих пор мы пользуемся деревянными треугольниками.

    Ответить
  10. Анонимный

    У-у, деревянный треугольник — большой дефицит. Пластиковый транспортир типа школьного я постоянно таскаю в сумке. А когда меня одолевает бессонница, я пытаюсь разобраться в таблицах Брадиса. Всю брошюрку истрепал, но — помогает!

    Ответить
  11. Николай Хижняк

    Математические принципы инструментов не зависят от материалов, из которых они сделаны 🙂 Зачитываться таблицей Брадиса — это очень круто! Я на такое не способен 🙂

    Ответить
  12. Анонимный

    Согласен. Но это трудно объяснить молодежи. Боюсь показаться нытиком, но деятельность современной системы на(не-)родного образования ведет к массовой "Баттхедизации" молодежи (как в мульте "Бивис и Баттхед). Я, увы, сужу по своей старшенькой, и мне становится страшно. Они же все подряд "блондинизируются"!

    Ответить
  13. Николай Хижняк

    Образование тупо дрессирует обезьян. Очень удобно для любых бюрократических систем: государственных, политических, религиозных, коммерческих… Главная задача всех — не умничать, а тупо выполнять то, что начальство приказало. Ещё Жванецкий заметил, что инициатива — наказуема: ты предложишь, тебя заставят делать, тебя же потом накажут за то, что сделал не так 🙂

    Ответить