Площадь треугольника относится к тому числу школьных задач, которые очень часто приходится решать и в дальнейшей жизни. Сейчас мы говорим не о площади треугольника Бермудского, которую при желании можно вычислить (кстати, она составляет более одного миллиона квадратных километров), и не о площади треугольника любовного, которую в принципе вычислить нельзя. Мы говорим о площади того треугольника, который является геометрической фигурой.
Кстати, от фигуры блондинки математики кое-что взяли для своих любимых треугольников. Но об этом в другой раз.
Сегодня мы глянем одним глазом на формулы треугольника для нахождения площади. Площадь треугольника в Википедии дана в виде целой кучи формул. Я самым бессовестным образом стырил их оттуда и сделал для вас шпаргалку по геометрии с формулами площади треугольника и портретом самого виновника торжества — треугольника. Эту шпаргалку по любимой нашей математике можно скачать бесплатно — правой кнопочкой мышки (брррр!) «сохранить изображение/рисунок как». Эта шпаргалка останется у вас в компьютере.
Начнем с картинки треугольника. В разных учебниках могут быть разные обозначения вершин, сторон и углов треугольника. Поэтому, прежде чем тупо применять формулы со шпаргалки для решения своих задач, сравните все обозначения сторон, углов и вершин треугольников.
Вполне возможно, что некоторые буковки в формулах вам придется поменять, что бы на шпаргалке и в вашем учебнике были одинаковые обозначения.
Теперь о самих формулах. Под цифрой 1 (один) стоит самая распространенная формула для нахождения площади треугольника через длину стороны треугольника> и высоту треугольника, опущенную на эту сторону. Равняется площадь треугольника половине произведения стороны треугольника на высоту.
Вторая формула позволяет находить площадь треугольника по длине двух сторон и углу между ними. В формуле присутствует синус угла гамма, значение которого нужно искать по тригонометрической таблице или вычислять на калькуляторе.
Третья формула позволяет найти площадь треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Знаками равенства в этой формуле разделены разные варианты этой формулы, в которых применяется полупериметр треугольника, радиус вневписанной окружности, касающейся одной из сторон.
С этими штучками мы как-нибудь попытаемся разобраться. А пока внизу нашей шпаргалки можно найти обозначения того, кто есть кто в нашем треугольном зоопарке. И формулы для вычисления высоты и полупериметра треугольника.
По длинам трех сторон и радиусу описанной окружности можно найти площадь при помощи четвертой формулы.
Моя самая любимая формула — формула Герона — под номером пять. Эта формула позволяет находить площадь треугольника по трем сторонам. Чем так хороша эта формула Герона? На работе я с её помощью вычислял площадь практически любой геометрической фигуры. Например, если комната имела форму неправильного многоугольника, то достаточно было замерить длины стен и расстояния между углами комнаты (длины сторон и расстояния между вершинами многоугольника). Потом по формуле Герона высчитывалась площадь треугольников, на которые можно разбить любой многоугольник. Сумма площадей треугольников давала площадь многоугольника, то есть площадь комнаты. В шпаргалке формула Герона представлена в двух вариантах — нахождение площади треугольника через полупериметр и через длины сторон.
Дальше мы можем найти площадь треугольника по одной стороне и трем углам (формула 6), по радиусу описанной окружности и трем углам (формула 7), по координатам вершин треугольника (формула 8).
В последней формуле вертикальные палочки в числителе обозначают модуль числа, ведь площадь не может быть отрицательной — это знают даже математики.
Площадь прямоугольного треугольника (формула 9) можно найти как половину произведения катетов или через радиусы вписанной и описанной окружности.
В заключение нашей экскурсии по Плаццо Де Треугольник мы можем найти площадь треугольника по стороне и двум углам, используя котангенсы (формула 10) или синусы (формула 11) этих углов.
Найти решение:
Найти картинки на тему площадь треугольника — здесь неплохая картинка — аж 11 формул для вычисления площади треугольника.
Формула площади треугольника через синус альфа — с применением sin угла можно найти площадь по формулам 2, 6, 7 и 11.
Подскажите, пожалуйста. Как найти высоту прямоугольного треугольника. Мне бы формулу…)))
Этот комментарий был удален автором.
диагонать треугольника не существует)
Ах, ну да. У треугольника это называется гипотенуза:)
Высота равна:
удвоенная площадь, деленная на основание;
гипотенуза, умноженная на синус противолежащего угла;
гипотенуза, умноженная на косинус прилежащего угла;
периметр минус гипотенуза, минус основание…
и так далее:)
Добрый день. Подскажите, как вывести формулу по двум углам и стороне(формулу с котангенсами)? Заранее благодарю.
Вопрос, конечно, интересный. Давно над этим ломаю голову. Попробую сегодня заняться этим вплотную.
напишите плз как вывести формулу S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β)))
Не так страшен котангенс, как его малюют:) Картинки уже рисую, сегодня к вечеру будет готово.
Вывод на странице площадь треугольника через котангенс
Ссылка на вывод формулы в комментарии выше. Нужно только букву "с" на букву "А" поменять.
Здравствуйте) Подскажите, как вывести формулу S=2R^2 sinasinbsiny, зная "R", "а" и "b".
Решения я не знаю, но сделал бы так. Формула 2 имеет три варианта для трех углов. Смысл её в том, что площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на угол между ними. Приравниваем эти формулы к формуле 4. Ведь площади треугольника, высчитанные по разным формулам, равны. В результате получаем значения сторон, выраженные через радиус и синус угла:
a=2Rsina
b=2Rsinb
c=2Rsiny
Эти значения подставляем в формулу 4, сокращаем и получаем нужную нам формулу 7.
Является это решение правильным или нет — понятия не имею. Приговор могут вынести только проповедники математики:)
спасибо большое за формулы:)
Пользуйтесь на здоровье:)
как найти площадь тупоугольного треугольника?угол тупой 90-180 град
В математике тупые углы от углов сообразительных почти ничем не отличаются. Только сообразительностью:) Не существует математической формулы, специально выведенной для поиска площади тупоугольного треугольника. Можно брать любую формулу из изображенных на рисунке. Какую конкретную формулу брать? Всё зависит от тех данных, которые известны. Если в формуле используется всё то, что нам известно, тогда берем её и считаем. Если в формуле есть то, чего нам не дано, тогда ищем другую формулу. Это как поиск жениха: если всё устраивает — быстренько выскакиваем замуж, если что-то не устраивает — ищем другого.
На самом деле очень интересно. Если бы мне в школе так подробно разжевывали… Но, увы — это первое. Второе — я настоящая блондинка,которая защитила диплом на менеджера-экономиста. Но, думаю многим из нас не нужно рассчитывать на работе площадь треугольника. Посчитать сдачу в магазине или проценты по кредиту — вот и всё(а имеющим автомобиль цены на бензин). Я — Эксперт по работе с кредиторской задолженностью — настоящая блондинка.У меня 2 вопроса к Николаю — чем, собственно алгебра, может помочь в решении экономических проблем в стране?(Конкретно) И зачем кузнецу — бухгалтер?
У меня нет претензий к Николаю, добрый человек , пожалел нас блондинок…
Ответ на первый вопрос. Алгебра не способна помочь в решении экономических проблем в отдельно взятой стране. Это всё равно, что заткнуть воздухом одну дырку в решете. В экономике все проблемы психологические. И все эти проблемы объясняются очень просто — жадность. Казнокрадство, взяточничество, злоупотребление служебным положение и так далее — это уголовно наказуемо. А то, что уголовно не наказывается? Как блондинка блондинку спрошу: почему людей, не возвращающих кредиты, можно посадить в тюрьму, а банкира, раздающего эти кредиты направо и налево в надежде побольше заработать — нельзя? Жадность одного наказывается, жадность другого не наказывается. Тут же возникает вопрос — где математическое равенство? Не надо раздавать кредиты кому попало и тогда не будет проблем с их возвращением.
В мировой экономике математическая проблема только одна — полное отсутствие отрицательных денег. Если обычные деньги кончились, то они не способны появиться из пустоты. Это только у математиков после нуля на числовой прямой, из ниоткуда, появляются отрицательные числа. Когда мировую экономику дружными усилиями загоняют в область отрицательных чисел, наступает мировой экономический кризис. После ливня глупо искать каплю, виноватую в наводнении. К наводнению приводит сам дождь или падение всех капель, вместе взятых.
Ответ на второй вопрос. Зачем кузнецу бухгалтер? Для размножения))) При чем здесь алгебра или площадь треугольника? Чем-то же должно разумное существо отличаться от диких животных. Пожрать, по размножаться, поспать… Снова пожрать, снова… Умение считать деньги и знание процента отката тупым бюрократическим функциям — разве это способно принципиально выделить нас на общем фоне животных?
подскажите как найти площадь треугольника если а= 9
б= корень из 109
с = корень из 10
Если даны длины трех сторон треугольника, то обычно площадь находят по формуле Герона. Только вот со сложением корней возникают проблемы. Нужно взять калькулятор и извлечь корни из чисел. Тогда получится (с округлением до двух знаков после запятой):
а=9; б=10,44; с=3,16
Площадь получается равной 13,49.
Возможно, есть и другой способ решения, без преобразования корней в числа.
основание прямой треугольной призмы-прямоуг. треугольник с катетами 3см и 4см. высота призмы 10см. найдите площадь полной поверхности. помогите блондинке)))
На блондинку купился))) По теореме дедушки Пифагора находим гипотенузу прямоугольного треугольника, которая равна 5 сантиметров.
После этого складываем в кучку площади всех граней прямой треугольной призмы: два треугольника (снизу и сверху) и три прямоугольника (по бокам):
2*3*4/2+3*10+4*10+5*10 = 132 сантиметра квадратных
не могли бы вы опубликовать историю выведения формулы площади треугольника через синус, ищу по всему интернету и ничего(((
Никогда не интересовался этим вопросом. Сейчас я сильно занят на работе, на праздники постараюсь что-то поискать.