Площадь треугольника

Площадь треугольника относится к тому числу школьных задач, которые очень часто приходится решать и в дальнейшей жизни. Сейчас мы говорим не о площади треугольника Бермудского, которую при желании можно вычислить (кстати, она составляет более одного миллиона квадратных километров), и не о площади треугольника любовного, которую в принципе вычислить нельзя. Мы говорим о площади того треугольника, который является геометрической фигурой.

Кстати, от фигуры блондинки математики кое-что взяли для своих любимых треугольников. Но об этом в другой раз.

Сегодня мы глянем одним глазом на формулы треугольника для нахождения площади. Площадь треугольника в Википедии дана в виде целой кучи формул. Я самым бессовестным образом стырил их оттуда и сделал для вас шпаргалку по геометрии с формулами площади треугольника и портретом самого виновника торжества — треугольника. Эту шпаргалку по любимой нашей математике можно скачать бесплатно — правой кнопочкой мышки (брррр!) «сохранить изображение/рисунок как». Эта шпаргалка останется у вас в компьютере.

Начнем с картинки треугольника. В разных учебниках могут быть разные обозначения вершин, сторон и углов треугольника. Поэтому, прежде чем тупо применять формулы со шпаргалки для решения своих задач, сравните все обозначения сторон, углов и вершин треугольников.

Вполне возможно, что некоторые буковки в формулах вам придется поменять, что бы на шпаргалке и в вашем учебнике были одинаковые обозначения.

Теперь о самих формулах. Под цифрой 1 (один) стоит самая распространенная формула для нахождения площади треугольника через длину стороны треугольника> и высоту треугольника, опущенную на эту сторону. Равняется площадь треугольника половине произведения стороны треугольника на высоту.

Вторая формула позволяет находить площадь треугольника по длине двух сторон и углу между ними. В формуле присутствует синус угла гамма, значение которого нужно искать по тригонометрической таблице или вычислять на калькуляторе.

Третья формула позволяет найти площадь треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Знаками равенства в этой формуле разделены разные варианты этой формулы, в которых применяется полупериметр треугольника, радиус вневписанной окружности, касающейся одной из сторон.

С этими штучками мы как-нибудь попытаемся разобраться. А пока внизу нашей шпаргалки можно найти обозначения того, кто есть кто в нашем треугольном зоопарке. И формулы для вычисления высоты и полупериметра треугольника.

По длинам трех сторон и радиусу описанной окружности можно найти площадь при помощи четвертой формулы.

Моя самая любимая формула — формула Герона — под номером пять. Эта формула позволяет находить площадь треугольника по трем сторонам. Чем так хороша эта формула Герона? На работе я с её помощью вычислял площадь практически любой геометрической фигуры. Например, если комната имела форму неправильного многоугольника, то достаточно было замерить длины стен и расстояния между углами комнаты (длины сторон и расстояния между вершинами многоугольника). Потом по формуле Герона высчитывалась площадь треугольников, на которые можно разбить любой многоугольник. Сумма площадей треугольников давала площадь многоугольника, то есть площадь комнаты. В шпаргалке формула Герона представлена в двух вариантах — нахождение площади треугольника через полупериметр и через длины сторон.

Дальше мы можем найти площадь треугольника по одной стороне и трем углам (формула 6), по радиусу описанной окружности и трем углам (формула 7), по координатам вершин треугольника (формула 8).

В последней формуле вертикальные палочки в числителе обозначают модуль числа, ведь площадь не может быть отрицательной — это знают даже математики.

Площадь прямоугольного треугольника (формула 9) можно найти как половину произведения катетов или через радиусы вписанной и описанной окружности.

В заключение нашей экскурсии по Плаццо Де Треугольник мы можем найти площадь треугольника по стороне и двум углам, используя котангенсы (формула 10) или синусы (формула 11) этих углов.

Найти решение:

Найти картинки на тему площадь треугольника — здесь неплохая картинка — аж 11 формул для вычисления площади треугольника.

Формула площади треугольника через синус альфа — с применением sin угла можно найти площадь по формулам 2, 6, 7 и 11.

Оцените статью
Добавить комментарий

  1. Анонимный

    Подскажите, пожалуйста. Как найти высоту прямоугольного треугольника. Мне бы формулу…)))

    Ответить
  2. Николай Хижняк

    Этот комментарий был удален автором.

    Ответить
  3. Анонимный

    диагонать треугольника не существует)

    Ответить
  4. Николай Хижняк

    Ах, ну да. У треугольника это называется гипотенуза:)

    Ответить
  5. Николай Хижняк

    Высота равна:
    удвоенная площадь, деленная на основание;
    гипотенуза, умноженная на синус противолежащего угла;
    гипотенуза, умноженная на косинус прилежащего угла;
    периметр минус гипотенуза, минус основание…
    и так далее:)

    Ответить
  6. Анонимный

    Добрый день. Подскажите, как вывести формулу по двум углам и стороне(формулу с котангенсами)? Заранее благодарю.

    Ответить
  7. Николай Хижняк

    Вопрос, конечно, интересный. Давно над этим ломаю голову. Попробую сегодня заняться этим вплотную.

    Ответить
  8. Анонимный

    напишите плз как вывести формулу S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β)))

    Ответить
  9. Николай Хижняк

    Не так страшен котангенс, как его малюют:) Картинки уже рисую, сегодня к вечеру будет готово.

    Ответить
  10. Николай Хижняк

    Вывод на странице площадь треугольника через котангенс

    Ответить
  11. Николай Хижняк

    Ссылка на вывод формулы в комментарии выше. Нужно только букву "с" на букву "А" поменять.

    Ответить
  12. Анонимный

    Здравствуйте) Подскажите, как вывести формулу S=2R^2 sinasinbsiny, зная "R", "а" и "b".

    Ответить
  13. Николай Хижняк

    Решения я не знаю, но сделал бы так. Формула 2 имеет три варианта для трех углов. Смысл её в том, что площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на угол между ними. Приравниваем эти формулы к формуле 4. Ведь площади треугольника, высчитанные по разным формулам, равны. В результате получаем значения сторон, выраженные через радиус и синус угла:

    a=2Rsina
    b=2Rsinb
    c=2Rsiny

    Эти значения подставляем в формулу 4, сокращаем и получаем нужную нам формулу 7.

    Является это решение правильным или нет — понятия не имею. Приговор могут вынести только проповедники математики:)

    Ответить
  14. Альбина

    спасибо большое за формулы:)

    Ответить
  15. Николай Хижняк

    Пользуйтесь на здоровье:)

    Ответить
  16. Анонимный

    как найти площадь тупоугольного треугольника?угол тупой 90-180 град

    Ответить
  17. Николай Хижняк

    В математике тупые углы от углов сообразительных почти ничем не отличаются. Только сообразительностью:) Не существует математической формулы, специально выведенной для поиска площади тупоугольного треугольника. Можно брать любую формулу из изображенных на рисунке. Какую конкретную формулу брать? Всё зависит от тех данных, которые известны. Если в формуле используется всё то, что нам известно, тогда берем её и считаем. Если в формуле есть то, чего нам не дано, тогда ищем другую формулу. Это как поиск жениха: если всё устраивает — быстренько выскакиваем замуж, если что-то не устраивает — ищем другого.

    Ответить
  18. Анонимный

    На самом деле очень интересно. Если бы мне в школе так подробно разжевывали… Но, увы — это первое. Второе — я настоящая блондинка,которая защитила диплом на менеджера-экономиста. Но, думаю многим из нас не нужно рассчитывать на работе площадь треугольника. Посчитать сдачу в магазине или проценты по кредиту — вот и всё(а имеющим автомобиль цены на бензин). Я — Эксперт по работе с кредиторской задолженностью — настоящая блондинка.У меня 2 вопроса к Николаю — чем, собственно алгебра, может помочь в решении экономических проблем в стране?(Конкретно) И зачем кузнецу — бухгалтер?

    Ответить
  19. Анонимный

    У меня нет претензий к Николаю, добрый человек , пожалел нас блондинок…

    Ответить
  20. Николай Хижняк

    Ответ на первый вопрос. Алгебра не способна помочь в решении экономических проблем в отдельно взятой стране. Это всё равно, что заткнуть воздухом одну дырку в решете. В экономике все проблемы психологические. И все эти проблемы объясняются очень просто — жадность. Казнокрадство, взяточничество, злоупотребление служебным положение и так далее — это уголовно наказуемо. А то, что уголовно не наказывается? Как блондинка блондинку спрошу: почему людей, не возвращающих кредиты, можно посадить в тюрьму, а банкира, раздающего эти кредиты направо и налево в надежде побольше заработать — нельзя? Жадность одного наказывается, жадность другого не наказывается. Тут же возникает вопрос — где математическое равенство? Не надо раздавать кредиты кому попало и тогда не будет проблем с их возвращением.

    В мировой экономике математическая проблема только одна — полное отсутствие отрицательных денег. Если обычные деньги кончились, то они не способны появиться из пустоты. Это только у математиков после нуля на числовой прямой, из ниоткуда, появляются отрицательные числа. Когда мировую экономику дружными усилиями загоняют в область отрицательных чисел, наступает мировой экономический кризис. После ливня глупо искать каплю, виноватую в наводнении. К наводнению приводит сам дождь или падение всех капель, вместе взятых.

    Ответ на второй вопрос. Зачем кузнецу бухгалтер? Для размножения))) При чем здесь алгебра или площадь треугольника? Чем-то же должно разумное существо отличаться от диких животных. Пожрать, по размножаться, поспать… Снова пожрать, снова… Умение считать деньги и знание процента отката тупым бюрократическим функциям — разве это способно принципиально выделить нас на общем фоне животных?

    Ответить
  21. Анонимный

    подскажите как найти площадь треугольника если а= 9
    б= корень из 109
    с = корень из 10

    Ответить
  22. Николай Хижняк

    Если даны длины трех сторон треугольника, то обычно площадь находят по формуле Герона. Только вот со сложением корней возникают проблемы. Нужно взять калькулятор и извлечь корни из чисел. Тогда получится (с округлением до двух знаков после запятой):

    а=9; б=10,44; с=3,16

    Площадь получается равной 13,49.

    Возможно, есть и другой способ решения, без преобразования корней в числа.

    Ответить
  23. Анонимный

    основание прямой треугольной призмы-прямоуг. треугольник с катетами 3см и 4см. высота призмы 10см. найдите площадь полной поверхности. помогите блондинке)))

    Ответить
  24. Николай Хижняк

    На блондинку купился))) По теореме дедушки Пифагора находим гипотенузу прямоугольного треугольника, которая равна 5 сантиметров.

    После этого складываем в кучку площади всех граней прямой треугольной призмы: два треугольника (снизу и сверху) и три прямоугольника (по бокам):

    2*3*4/2+3*10+4*10+5*10 = 132 сантиметра квадратных

    Ответить
  25. Школьник

    не могли бы вы опубликовать историю выведения формулы площади треугольника через синус, ищу по всему интернету и ничего(((

    Ответить
  26. Николай Хижняк

    Никогда не интересовался этим вопросом. Сейчас я сильно занят на работе, на праздники постараюсь что-то поискать.

    Ответить